Interpretación geométrica y cociente de diferencias de Newton
La derivada de una función es la pendiente geométrica de la línea tangente del gráfico de en . Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la línea tangente a una función dada, porque solamente se conoce un punto en la línea tangente: . La idea es aproximar la línea tangente con múltiples líneas secantes que tienen distancias progresivamente más pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el límite de las pendientes de las líneas secantes de esta progresión, se consigue la pendiente de la línea tangente. Se define, pues, la derivada tomando el límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea tangente.
Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un número relativamente pequeño. representa un cambio relativamente pequeño en , el cual puede ser positivo o negativo. La pendiente de la línea que cruza los dos puntos y es
Esta expresión es el cociente de diferencias de Newton. La derivada de f en x es el límite del valor del cociente diferencial, conforme las líneas secantes se aproximan a la línea tangente:Puesto que sustituir por 0 produce una división por cero, calcular directamente la derivada puede no ser intuitivo. Una técnica posible consiste en operar en el numerador, de manera que se pueda cancelar la del denominador. Y eso es posible fácilmente en los polinomios. Pero para muchas otras funciones el resultado es incierto. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan diferenciar la mayoría de las funciones simples.
Sea una función continua, y su curva. Sea la abscisa de un punto regular, es decir donde no hace un ángulo. En el punto de se puede trazar la tangente a la curva. Su coeficiente director, o sea su pendiente, es , el número derivado de en .
La función es la derivada de .
Veamos una explicacion un poco mas entretenida:
Ejemplo de aplicacion del concepto geométrico de la derivada de una función
Hallar la derivada de la función f(x) = 3x2 en el punto x = 2.
BIEN VAMOS A RECREO.......