Veamos algunos conceptos previos :

a) Conjunto de los números reales

Está formado por el conjunto de los números enteros, racionales e irracionales, en adelante lo vamos a denotar por R ; gráficamente el conjunto de los números reales lo podemos representar por una recta en la que fijamos un origen y una unidad, que hace que a cada punto de la recta le corresponda un número real y a cada número real le corresponda un punto de la recta. A esta recta la denominamos la recta real

Resultado de imagen para numeros reales en la recta numerica

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b)Función : Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna.

Es una relación entre los elementos de dos conjuntos, de forma que a determinados elementos del primer conjunto se asocian elementos del segundo conjunto de manera unívoca, es decir que a un elemento del primer conjunto no le podemos asociar más de un elemento del segundo conjunto. A un elemento cualquiera del primer conjunto lo representamos con la letra x, que denominamos variable independiente y al único elemento que le corresponde en el segundo conjunto lo representamos por la letra y, a la que denominamos variable dependiente. A la relación la representamos por la letra f y escribimos y=f(x).

c)Dominio de definición de una función f :

Es el conjunto de valores de x para los que la función f(x) existe. Lo representamos por Dom(f).

d)Recorrido o imagen de una función f :

Es el conjunto de valores que toma la variable dependiente y. Lo representamos por Img(f).
Es aquella cuyo dominio y recorrido son subconjuntos del conjunto de los números reales.

Función real de variable real

Las funciones reales de variable real se suelen representar en el plano, utilizando un sistema de referencia.(video) En la figura que sigue, la primera gráfica, es la gráfica de una función ; la segunda, no es la gráfica de una función:

Resultado de imagen para funciones matematicas

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En el primer caso a cada valor de x le corresponde un único valor de y. En el segundo caso, hay valores de x que no están únicamente determinados.
Una función puede definirse mediante una expresión verbal, una tabla, una fórmula o una gráfica. En general trabajaremos con funciones expresadas mediante una fórmula o expresión analítica y su gráfica. Según la expresión analítica clasificamos las funciones de la siguiente forma:

Intervalos y entornos (Video)

Definimos sobre la recta real :

El conjunto [a,b] se llama intervalo cerrado y (a,b) se llama intervalo abierto. En cualquiera de los casos b-a se llama longitud del intervalo.

Resultado de imagen para intervalos y entornos

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Entorno de un número real x: (video)

Si X es un espacio topológico y p es un punto perteneciente a X, un entorno de p es un conjunto V que contiene un conjunto abierto U que contiene a p,

p \in U \subseteq V.

Nótese que el entorno V no necesita ser un conjunto abierto. Si V es abierto se lo llama un entorno abierto. Algunos autores especifican que los entornos deben ser abiertos, por lo que es importante prestar cuidado a las diferentes notaciones.

El conjunto de todos los entornos de un punto forma una base de entornos del punto.

Si S es un subconjunto de X, un entorno de S es un conjunto V, que contiene un conjunto abierto U que contiene a S. Se deduce que un conjunto V es un entorno de S si y solo si es un entorno de todos los puntos de S.

Definición de limite (video)

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definiciónde límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo o radio de convergencia se van aproximando a un punto fijado c, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función. El punto c es punto de acumulación del dominio de la función.¹ Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

$\lim_{x\to c} \, \, f(x) = L$

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.

Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:

"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre laimagen de x y L es menor que ε unidades".

Esta definición, se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:

\begin{array}{l} \underset {x\to c}{\lim} \, \, f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \ \delta > 0 / 0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \end{array}

"La existencia del limite de una funcion f(x), esta condicionado por la existencia de los limites laterales de f(x)"

Límites laterales (video)

De manera similar, x puede aproximarse a c tomando valores más grandes que éste (derecha) o tomando valores más pequeños (izquierda), en cuyo caso los límites pueden ser escritos como:

$\lim_{x \to c^-}f(x) = L$ $\lim_{x \to c^+}f(x) = L$ o

respectivamente. Si los dos límites anteriores son iguales a L entonces estos se pueden referir como el límite de f(x) en c.

Dicho de otro modo, si los limites laterales no son iguales a L entonces el límite, como tal, no existe.

Cálculo del límite de una función en un punto

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que: