lunes, 12 de marzo de 2012

FACTORIZACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS


"Una expresion algebraica , dada en su forma polinómica , puede ser escrita también como un producto de factores primos, mediante la aplicación de métodos de procesos , según sea el tipo de polinomio que se desea factorizar"


                         CONCEPTOS GENERALES SOBRE LA FACTORIZACIÓN:

¿Qué es factorizar o factorear un polinomio?
Factorizar o Factorear significa "transformar en multiplicación" (o "producto", como también se le llama a la multiplicación). Partimos de una expresión formada por sumas y/o restas de términos (x2 + 3x + 2 por ejemplo), y llegamos a una expresión equivalente, pero que es una multiplicación ( (x + 2).(x + 1) en nuestro ejemplo).


¿Por qué se llama "factorizar" o factorear?

Porque a los elementos que están multiplicando en una multiplicación se les llama "factores". Por ejemplo, en la multiplicación 2 x 3 = 6 , el 2 y el 3 son los "factores".
En el ejemplo del punto anterior, (x + 2) y (x + 1) son los factores.


¿Para qué sirve factorizar un polinomio?

Por ejemplo, tener factorizada la fórmula de una función polinómica sirve para encontrar o visualizar los "ceros" o "raíces". Y eso es algo de gran utilidad en varios temas: para analizar la positividad y negatividad de la función, o para encontrar los máximos y/o mínimos. También la factorización de polinomios se puede utilizar para: resolver inecuaciones de grado 2 o mayor, hallar algunos límites, resolver ecuaciones polinómicas fraccionarias, identidades y ecuaciones trigonométricas, etc. Es decir que nos enseñan a factorizar porque en otros temas de Matemática necesitaremos factorizar polinomios para trabajar con multiplicaciones en vez de sumas y restas.


¿Cómo puedo saber si factoricé correctamente?

Multiplicando los factores que obtuvimos tenemos que poder llegar a la misma expresión de sumas y/o restas de la que partimos. No olvidemos que al factorizar estamos obteniendo una expresión equivalente a la original, pero con distinta forma (de multiplicación). Si luego multiplico todos los factores que quedaron en el resultado, tengo que volver "al principio". De esta forma estamos haciendo una "verificación". Por ejemplo:

Factoreo (con el Séptimo caso: Trinomio de segundo grado):

x2 + 3x + 2 = (x + 2).(x + 1) 

Verificación (Multiplicación aplicando la Propiedad distributiva):

(x + 2).(x + 1) =  x2 + x  + 2x + 2 = x2 + 3x + 2


En casi todos los casos se puede decir que "factorizar es lo contrario de multiplicar" o "factorizar es lo contrario de aplicar la distributiva" (Propiedad distributiva de la multiplicación con la suma).


                                                          CASOS DE FACTOREO

  • FACTOR COMÚN

Procedimiento:
1° Paso: Buscamos el factor común (que debe ser el mayor posible)
2° Paso: Se expresa el polinomio dado como el producto del factor común por el polinomio que resulta de dividir el polinomio dado por el factor común.
Ejemplo





    FACTOR COMÚN POR GRUPOS
Se aplica en polinomios que no tienen factor común en todos sus términos.
Procedimiento

1° Paso: Se forman grupos de igual cantidad de términos que tengan factor común, se sustrae dicho factor común en cada uno de los grupos.
2° Paso: Debe quedar un paréntesis común.
3° Paso: Se extrae dicho paréntesis como factor común.
Ejemplo



  • TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Recuerdo: “Cuadrado de un Binomio”
'Factorización'

Procedimiento:

1°Paso: Se reconocen los cuadrados perfectos, los cuales no deben tener un signo negativo adelante.
Y calculo sus raíces cuadradas, dichas raíces serán las bases.
2° Paso: Luego calculo el doble producto de sus bases; y luego nos fijamos si se verifica que el doble producto figura en el trinomio dado,
3° Paso: Si el doble producto figura en el trinomio dado, entonces decimos que es un Trinomio Cuadrado Perfecto; y luego lo factorizo como el cuadrado de un binomio, formado por dichas bases.
OBSERVACIONES MUY IMPORTANTES:

    • Si el doble producto que figura en el ”Trinomio dado” es positivo, entonces las bases del Cuadrado del Binomio tendrán las dos el mismo signo.
    • Si el doble producto que figura en el ”Trinomio dado” es negativo, entonces las bases del Cuadrado del Binomio tendrán signos opuestos


  • Ejemplo








                                     CUATRINOMIO CUBO PERFECTO

Recuerdo: “Cubo de un Binomio”
'Factorización'

Procedimiento:

1°Paso: Se reconocen los cubos perfectos
Y calculo sus raíces cúbicas, dichas raíces serán las bases.
2° Paso:
Luego calculo:
    • el triple producto del cuadrado de la primera base por la segunda
    • el triple producto de la primera base por el cuadrado de la segunda
Luego nos fijamos si estos cálculos figuran en el cuatrinomio dado,
3° Paso: Si estos cálculos figuran en el trinomio dado, entonces decimos que es un Cuatrinomio Cubo Perfecto; y luego lo factorizo como el cubo de un binomio, formado por dichas bases.
OBSERVACIÓN MUY IMPORTANTE:
Las bases que figuran en el Cubo del Binomio, van a conservar su signo.








Factorización
Ejemplo




                                




        DIFERENCIA DE CUADRADOS

Recuerdo: Producto de Binomios Conjugados
'Factorización'

Procedimiento:

1° Paso: Debo identificar la resta (debe haber un solo signo negativo) y luego los cuadrados perfectos.
2° Paso: Calculo las bases de los cuadrados perfectos (haciendo la raíz cuadrada de cada uno)
3° Paso: Transformo la diferencia de cuadrados en un producto de binomios conjugados, formado por dichas bases.

Ejemplo





                         SOBRE EL SEXTO CASO: SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO

¿Por qué se llama "Suma o Resta de Potencias de Igual Grado"?

Porque con este Caso de pueden factorizar aquellos polinomios que sean una suma o una resta de dos términos que sean potencias con el mismo exponente ("igual grado").
(
¿qué es el grado?) (¿qué es una potencia?)
Por ejemplo:

x5 + y5

El polinomio precedente es una suma de potencias quintas. Son dos potencias con el mismo exponente: 5.

x3 - 8

Este polinomio es una resta de potencias terceras. Ya que 8 es igual a 23. Son dos potencias con el mismo exponente: 3

a8 - 1

Este polinomio es una resta de potencias octavas. Ya que 1 es igual a 18. Son dos potencias con el mismo exponente: 8


¿Cómo me doy cuenta de que puedo aplicar este Caso en un polinomio?

1) El polinomio tiene que tener 2 términos.

2) Los términos tienen que ser potencias con el mismo exponente. Pueden ser dos letras
(a3 + b3, por ejemplo), o una letra y un número (a3 + 8, por ejemplo). En el caso que haya un número, hay que pensar si el número es potencia con el mismo exponente que la letra. Por ejemplo:

x5 - 32

En el polinomio precedente, la x está elevada a la potencia quinta. Entonces, hay que pensar si el número 32 es potencia 5 de algún número (
¿cómo me doy cuenta de eso?). Como 32 es igual a 25, entonces 32 es también una potencia quinta. Entonces, puedo aplicar el Caso.

3) Si es una suma, las potencias deben ser impares (x3, x5, a7, a9, etc.).

Ejemplo:









Para recordar:
En el momento de factorizar una expresión debemos tener en cuenta que:
Primero nos fijamos si hay factor común en todos los términos, en caso de haber, lo extraemos.
Luego Consideramos la cantidad de términos:
    • Si hay dos términos puede ser que sea “Diferencia de Cuadrados” o puede ser que podamos utilizar el caso “Divisibilidad”.
    • Si hay tres términos puede ser “Trinomio Cuadrado Perfecto” o puede ser que podamos aplicar “Divisibilidad”
    • Si hay cuatro términos puede ser que sea un Cuatrinomio Cubo Perfecto”, podemos intentar “Factor Común por Grupos” o utilizar “Divisibilidad”.
          
                 
RECREO VIRTUAL...



NOS VEMOS EN LA PRÓXIMA  EMTRADA ....SUERTE CON EL ESTUDIO.....¡¡¡