jueves, 13 de enero de 2011

INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Interpretación geométrica y cociente de diferencias de Newton

La derivada de una función f\, es la pendiente geométrica de la línea tangente del gráfico de f\, en x\,. Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la línea tangente a una función dada, porque solamente se conoce un punto en la línea tangente: (x,f(x))\,. La idea es aproximar la línea tangente con múltiples líneas secantes que tienen distancias progresivamente más pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el límite de las pendientes de las líneas secantes de esta progresión, se consigue la pendiente de la línea tangente. Se define, pues, la derivada tomando el límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea tangente.
Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un número h\, relativamente pequeño. h\, representa un cambio relativamente pequeño en x\,, el cual puede ser positivo o negativo. La pendiente de la línea que cruza los dos puntos  ( x, f(x) ) \, y  ( x+h, f(x+h) ) \, es



                                                    f(x + h) - f(x) \over h





Esta expresión es el cociente de diferencias de Newton. La derivada de f en x es el límite del valor del cociente diferencial, conforme las líneas secantes se aproximan a la línea tangente:


\displaystyle f^\prime(x) = \lim_{h \to 0} {f(x + h) - f(x) \over h}.

Si la derivada de f \, existe en todos los puntos x \,, se puede definir la derivada de f \, como la función cuyo valor en cada punto x \, es la derivada de f \, en x \,.
Puesto que sustituir h \, por 0 produce una división por cero, calcular directamente la derivada puede no ser intuitivo. Una técnica posible consiste en operar en el numerador, de manera que se pueda cancelar la h \, del denominador. Y eso es posible fácilmente en los polinomios. Pero para muchas otras funciones el resultado es incierto. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan diferenciar la mayoría de las funciones simples.

Sea f \, una función continua, y C \, su curva. Sea x=a \, la abscisa de un punto regular, es decir donde C \, no hace un ángulo. En el punto A(a,f(a)) \, de C \, se puede trazar la tangente a la curva. Su coeficiente director, o sea su pendiente, es f^\prime(a), el número derivado de f \, en a \,.
La función a\rightarrow f^\prime(a) es la derivada de f \,.

Pendiente.png
En el punto de contacto, conociendo la pendiente de la tangente, es decir f^\prime(a), se puede saber a qué ritmo crece o decrece la función. El signo de f^\prime(a) determina si la función f \, crece o decrece.
Veamos una explicacion un poco mas entretenida:

 

Ejemplo de aplicacion del concepto geométrico de la derivada de una función

Hallar la derivada de la función f(x) = 3x2 en el punto x = 2.
derivada en un punto
derivada en un punto

BIEN VAMOS A RECREO.......


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